High order summation-by-parts methods in time and space

This thesis develops the methodology for solving initial boundary value problems with the use of summation-by-parts discretizations. The combination of high orders of accuracy and a systematic approach to construct provably stable boundary and interface procedures makes this methodology especially suitable for scientific computations with high demands on efficiency and robustness. Most classes of high order methods can be applied in a way that satisfies a summation-by-parts rule. These include, but are not limited to, finite difference, spectral and nodal discontinuous Galerkin methods. In the first part of this thesis, the summation-by-parts methodology is extended to the time domain, enabling fully discrete formulations with superior stability properties. The resulting time discretization technique is closely related to fully implicit Runge-Kutta methods, and may alternatively be formulated as either a global method or as a family of multi-stage methods. Both first and second order derivatives in time are considered. In the latter case also including mixed initial and boundary conditions (i.e. conditions involving derivatives in both space and time). The second part of the thesis deals with summation-by-parts discretizations on multi-block and hybrid meshes. A new formulation of general multi-block couplings in several dimensions is presented and analyzed. It collects all multiblock, multi-element and hybrid summation-by-parts schemes into a single compact framework. The new framework includes a generalized description of nonconforming interfaces based on so called summation-by-parts preserving interpolation operators, for which a new theoretical accuracy result is presented. Sammanfattning p̊a svenska Denna avhandling utgörs av en serie artiklar inom omr̊adet numerisk lösning av tidsberoende partiella differentialekvationer. S̊adana utnyttjas vid modellering av m̊anga skilda fenomen inom främst naturvetenskapliga och tekniska tillämpningar, s̊asom flödesdynamik, elektromagnetism eller strukturmekanik. De matematiska modellerna löses med hjälp av diskreta approximationer av de styrande partiella differentialekvationerna. Denna procedur är ofta b̊ade teoretiskt utmanande och resurskrävande i form av datorkapacitet. Utvecklandet av nya robusta och effektiva numeriska metoder för partiella differentialekvationer är därför av stor vikt, och utgör sedan l̊ang tid ett omfattande självständigt forskningsomr̊ade. Vid numerisk lösning är stabilitet ett nödvändigt kriterium för att garantera en konvergent lösning. Stabilitet är framförallt sv̊art att uppn̊a vid ränderna till ett beräkningsomr̊ade, samt vid gränsytor mellan omr̊aden där olika typer av diskretiseringsscheman används. Särskilt gäller detta för metoder av hög noggrannhetsordning, vilka är önskvärda ur effektivitetssynpunkt. Stabil tidsintegrering kan i vissa fall ocks̊a vara en utmaning, t.ex. om det rumsdiskretiserade problemet inneh̊aller oupplösta fenomen eller lokalt förfinade omr̊aden. Genom att använda diskretiseringsscheman av s.k. partiell summationstyp (eng.“summation-by-parts”, SBP) kan numerisk stabilitet uppn̊as p̊a ett systematiskt vis som g̊ar att styrka med matematiska bevis. Denna avhandling bidrar dels med att utvidga den partiella summationstekniken till tidsdomänen, vilket möjliggör fullt diskreta formuleringar inom ett och samma ramverk med utmärkta stabilitetsegenskaper. B̊ade första och andra ordningens derivator i tiden kan diskretiseras p̊a detta vis, och i det senare fallet kan även blandade randvillkor med b̊ade rumsoch tidsderivator behandlas. Det andra huvudsakliga bidraget gäller s.k. hybridformuleringar, dvs där olika diskretiseringsscheman används i olika delar av beräkningsomr̊adet. Detta kan t.ex. göras av effektivitetsskäl eller för ökad geometrisk flexibilitet. Ett nytt generellt ramverk för denna typ av formuleringar i flera rumsdimensioner har presenterats. Det nya ramverket innefattar en generaliserad beskrivning av s̊a kallade SBP-bevarande interpolationsscheman, vilket möjliggör stabila kopplingar mellan olika omr̊aden. I samband med detta har ett nytt teoretiskt noggrannhetsresultat bevisats för SBP-bevarande scheman.